The following list collects {i,x(i)} where x(i) is the i-th positive root.$

laliste := {{1,(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 - e3 - e4 - e5)/2},
{2,e1 + e2},
{3, - e1 + e2},
{4, - e2 + e3},
{5, - e3 + e4},
{6, - e4 + e5},
{7,e1 + e3},
{8,e1 + e4},
{9,e1 + e5},
{10,e2 + e3},
{11,e2 + e4},
{12,e2 + e5},
{13,e3 + e4},
{14,e3 + e5},
{15,e4 + e5},
{16, - e1 + e3},
{17, - e1 + e4},
{18, - e1 + e5},
{19, - e2 + e4},
{20, - e2 + e5},
{21, - e3 + e5},
{22,(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 + e3 + e4 + e5)/2},
{23,(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 + e3 + e4 + e5)/2},
{24,(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 - e3 + e4 + e5)/2},
{25,(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 + e3 - e4 + e5)/2},
{26,(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 + e3 + e4 - e5)/2},
{27,(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 - e3 + e4 + e5)/2},
{28,(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 + e3 - e4 + e5)/2},
{29,(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 + e3 + e4 - e5)/2},
{30,(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 - e3 - e4 + e5)/2},
{31,(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 - e3 + e4 - e5)/2},
{32,(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 + e3 - e4 - e5)/2},
{33,(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 - e3 - e4 - e5)/2},
{34,(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 + e3 - e4 - e5)/2},
{35,(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 - e3 + e4 - e5)/2},
{36,(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 - e3 - e4 + e5)/2}}$

lalisteprime := {(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 - e3 - e4 - e5)/2,
e1 + e2,
 - e1 + e2,
 - e2 + e3,
 - e3 + e4,
 - e4 + e5,
e1 + e3,
e1 + e4,
e1 + e5,
e2 + e3,
e2 + e4,
e2 + e5,
e3 + e4,
e3 + e5,
e4 + e5,
 - e1 + e3,
 - e1 + e4,
 - e1 + e5,
 - e2 + e4,
 - e2 + e5,
 - e3 + e5,
(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 + e3 + e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 + e3 + e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 - e3 + e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 + e3 - e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 + e3 + e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 - e3 + e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 + e3 - e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 + e1 - e2 + e3 + e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 - e3 - e4 + e5)/2,
(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 - e3 + e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 + e1 + e2 + e3 - e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 + e2 - e3 - e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 + e3 - e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 - e3 + e4 - e5)/2,
(sqrt(3)*e6 - e1 - e2 - e3 - e4 + e5)/2}$

The following list sum_of_positive_roots_list collects$

{{i,j},k} such that x(i)+x(j) =x(k).$

Time: 10 ms

Time: 1290 ms

sum_of_positive_roots_list:={{{1,3},33},
{{1,10},32},
{{1,11},31},
{{1,12},30},
{{1,13},29},
{{1,14},28},
{{1,15},27},
{{1,16},34},
{{1,17},35},
{{1,18},36},
{{2,4},7},
{{2,16},10},
{{2,17},11},
{{2,18},12},
{{2,19},8},
{{2,20},9},
{{2,23},22},
{{2,34},32},
{{2,35},31},
{{2,36},30},
{{3,4},16},
{{3,7},10},
{{3,8},11},
{{3,9},12},
{{3,19},17},
{{3,20},18},
{{3,27},24},
{{3,28},25},
{{3,29},26},
{{4,5},19},
{{4,11},13},
{{4,12},14},
{{4,21},20},
{{4,24},23},
{{4,30},28},
{{4,31},29},
{{4,33},34},
{{5,6},21},
{{5,7},8},
{{5,10},11},
{{5,14},15},
{{5,16},17},
{{5,25},24},
{{5,28},27},
{{5,32},31},
{{5,34},35},
{{6,8},9},
{{6,11},12},
{{6,13},14},
{{6,17},18},
{{6,19},20},
{{6,26},25},
{{6,29},28},
{{6,31},30},
{{6,35},36},
{{7,17},13},
{{7,18},14},
{{7,21},9},
{{7,24},22},
{{7,33},32},
{{7,35},29},
{{7,36},28},
{{8,16},13},
{{8,18},15},
{{8,25},22},
{{8,33},31},
{{8,34},29},
{{8,36},27},
{{9,16},14},
{{9,17},15},
{{9,26},22},
{{9,33},30},
{{9,34},28},
{{9,35},27},
{{10,19},13},
{{10,20},14},
{{10,21},12},
{{10,27},22},
{{10,35},26},
{{10,36},25},
{{11,20},15},
{{11,28},22},
{{11,34},26},
{{11,36},24},
{{12,19},15},
{{12,29},22},
{{12,34},25},
{{12,35},24},
{{13,21},15},
{{13,30},22},
{{13,33},26},
{{13,36},23},
{{14,31},22},
{{14,33},25},
{{14,35},23},
{{15,32},22},
{{15,33},24},
{{15,34},23},
{{16,21},18},
{{16,27},23},
{{16,30},25},
{{16,31},26},
{{17,28},23},
{{17,30},24},
{{17,32},26},
{{18,29},23},
{{18,31},24},
{{18,32},25},
{{19,25},23},
{{19,30},27},
{{19,32},29},
{{19,33},35},
{{20,26},23},
{{20,31},27},
{{20,32},28},
{{20,33},36},
{{21,26},24},
{{21,29},27},
{{21,32},30},
{{21,34},36}}$

Time: 0 ms

Time: 4260 ms  plus GC time: 10 ms

listesverif:={}$

Time: 0 ms

Property (P) OK$

Time: 0 ms