off echo, nat$ out "rcontrolrootsE8.r"$ %1) positive roots of E8. dim:=120$ %(Fulton-Harris, page 333) write "The 120 positive roots of E8."$ x(1):=(e1-e2-e3-e4-e5-e6-e7+e8)/2$ x(2):=e1+e2$ x(3):=e2-e1$ x(4):=e3-e2$ x(5):=e4-e3$ x(6):=e5-e4$ x(7):=e6-e5$ x(8):=e7-e6$ x(9):=e1+e3$ x(10):=e1+e4$ x(11):=e1+e5$ x(12):=e1+e6$ x(13):=e1+e7$ x(14):=e1+e8$ x(15):=e2+e3$ x(16):=e2+e4$ x(17):=e2+e5$ x(18):=e2+e6$ x(19):=e2+e7$ x(20):=e2+e8$ x(21):=e3+e4$ x(22):=e3+e5$ x(23):=e3+e6$ x(24):=e3+e7$ x(25):=e3+e8$ x(26):=e4+e5$ x(27):=e4+e6$ x(28):=e4+e7$ x(29):=e4+e8$ x(30):=e5+e6$ x(31):=e5+e7$ x(32):=e5+e8$ x(32):=e6+e7$ x(34):=e6+e8$ x(35):=e7+e8$ x(36):=e3-e1$ x(37):=e4-e1$ x(38):=e5-e1$ x(39):=e6-e1$ x(40):=e7-e1$ x(41):=e8-e1$ x(42):=e4-e2$ x(43):=e5-e2$ x(44):=e6-e2$ x(45):=e7-e2$ x(46):=e8-e2$ x(47):=e5-e3$ x(48):=e6-e3$ x(49):=e7-e3$ x(50):=e8-e3$ x(51):=e6-e4$ x(52):=e7-e4$ x(53):=e8-e4$ x(54):=e7-e5$ x(55):=e8-e5$ x(56):=e8-e6$ x(57):=e8-e7$ %number of minus signs even %0 signe - x(58):=(e1+e2+e3+e4+e5+e6+e7+e8)/2$ % + + + + + + + %2 signes - x(59):=(-e1-e2+e3+e4+e5+e6+e7+e8)/2$ % - - + + + + + x(60):=(-e1+e2-e3+e4+e5+e6+e7+e8)/2$ % - + - + + + + x(61):=(-e1+e2+e3-e4+e5+e6+e7+e8)/2$ % - + + - + + + x(62):=(-e1+e2+e3+e4-e5+e6+e7+e8)/2$ % - + + + - + + x(63):=(-e1+e2+e3+e4+e5-e6+e7+e8)/2$ % - + + + + - + x(64):=(-e1+e2+e3+e4+e5+e6-e7+e8)/2$ % - + + + + + - x(65):=(+e1-e2-e3+e4+e5+e6+e7 +e8)/2$ % + - - + + + + x(66):=(+e1-e2+e3-e4+e5+e6+e7 +e8)/2$ % + - + - + + + x(67):=(+e1-e2+e3+e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % + - + + - + + x(68):=(+e1-e2+e3+e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % + - + + + - + x(69):=(+e1-e2+e3+e4+e5+e6-e7 +e8)/2$ % + - + + + + - x(70):=(+e1+e2-e3-e4+e5+e6+e7 +e8)/2$ % + + - - + + + x(71):=(+e1+e2-e3+e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % + + - + - + + x(72):=(+e1+e2-e3+e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % + + - + + - + x(73):=(+e1+e2-e3+e4+e5+e6-e7 +e8)/2$ % + + - + + + - x(74):=(+e1+e2+e3-e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % + + + - - + + x(75):=(+e1+e2+e3-e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % + + + - + - + x(76):=(+e1+e2+e3-e4+e5+e6-e7 +e8)/2$ % + + + - + + - x(77):=(+e1+e2+e3+e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % + + + + - - + x(78):=(+e1+e2+e3+e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % + + + + - + - x(79):=(+e1+e2+e3+e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % + + + + + - - %4 signes - x(80):=(-e1-e2-e3-e4+e5+e6+e7 +e8)/2$ % - - - - + + + x(81):=(-e1-e2-e3+e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % - - - + - + + x(82):=(-e1-e2-e3+e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % - - - + + - + x(83):=(-e1-e2-e3+e4+e5+e6-e7 +e8)/2$ % - - - + + + - x(84):=(-e1-e2+e3-e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % - - + - - + + x(85):=(-e1-e2+e3-e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % - - + - + - + x(86):=(-e1-e2+e3-e4+e5+e6-e7 +e8)/2$ % - - + - + + - x(87):=(-e1-e2+e3+e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % - - + + - - + x(88):=(-e1-e2+e3+e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % - - + + - + - x(89):=(-e1-e2+e3+e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % - - + + + - - x(90):=(-e1+e2-e3-e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % - + - - - + + x(91):=(-e1+e2-e3-e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % - + - - + - + x(92):=(-e1+e2-e3-e4+e5+e6-e7 +e8)/2$ % - + - - + + - x(93):=(-e1+e2-e3+e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % - + - + - - + x(94):=(-e1+e2-e3+e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % - + - + - + - x(95):=(-e1+e2-e3+e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % - + - + + - - x(96):=(-e1+e2+e3-e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % - + + - - - + x(97):=(-e1+e2+e3-e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % - + + - - + - x(98):=(-e1+e2+e3-e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % - + + - + - - x(99):=(-e1+e2+e3+e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % - + + + - - - x(100):=(+e1-e2-e3-e4+e5+e6+e7 +e8)/2$ % + - - - - + + x(101):=(+e1-e2-e3+e4-e5+e6+e7 +e8)/2$ % + - - - + - + x(102):=(+e1-e2-e3+e4+e5-e6+e7 +e8)/2$ % + - - - + + - x(103):=(+e1-e2-e3+e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % + - - + - - + x(104):=(+e1-e2-e3+e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % + - - + - + - x(105):=(+e1-e2-e3+e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % + - - + + - - x(106):=(+e1-e2+e3-e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % + - + - - - + x(107):=(+e1-e2+e3-e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % + - + - - + - x(108):=(+e1-e2+e3-e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % + - + - + - - x(109):=(+e1-e2+e3+e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % + - + + - - - x(110):=(+e1+e2-e3-e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % + + - - - - + x(111):=(+e1+e2-e3-e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % + + - - - + - x(112):=(+e1+e2-e3-e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % + + - - + - - x(113):=(+e1+e2-e3+e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % + + - + - - - x(114):=(+e1+e2+e3-e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % + + + - - - - %6 signes - (i.e. 1 signe +) x(115):=(-e1-e2-e3-e4-e5-e6+e7 +e8)/2$ % - - - - - - + x(116):=(-e1-e2-e3-e4-e5+e6-e7 +e8)/2$ % - - - - - + - x(117):=(-e1-e2-e3-e4+e5-e6-e7 +e8)/2$ % - - - - + - - x(118):=(-e1-e2-e3+e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % - - - + - - - x(119):=(-e1-e2+e3-e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % - - + - - - - x(120):=(-e1+e2-e3-e4-e5-e6-e7 +e8)/2$ % - + - - - - - %x(1) % + - - - - - - %2) sum_of_positive_roots_list. write "The following list collects {i,x(i)} where x(i) is the i-th positive root."$ laliste:=for i:=1:DIM join {{i,x(i)}}; lalisteprime :=for i:=1:DIM collect x(i); write "The following list sum_of_positive_roots_list collects"$ write "{{i,j},k} such that x(i)+x(j) =x(k)."$ on time$ sum_of_positive_roots_list:= for i:=1:DIM-1 join for j:=i+1:DIM join if x(i)+x(j) member lalisteprime then for k:=1:DIM join if x(k)=x(i)+x(j) then {{{i,j},k}} else {} else {}$ write "sum_of_positive_roots_list:=",sum_of_positive_roots_list$ %3) verification of Property (P). listesverif:= for i:=1:DIM-1 join for j:=i+1:DIM join for k:=i+1:DIM join if x(i)+x(j) member lalisteprime and x(i)+x(k) member lalisteprime and x(j)+x(k) member lalisteprime then for l:=1:DIM join if x(l)=x(j)+x(k) then {{{i,j,k},x(j)+x(k), l}} else {} else {} $ write "listesverif:=",ws$ IF listesverif={} then DO <> ELSE DO <>$ bye$