In the present case 1 we suppose A=((0,1),(0,0)).$

a:=1$

b:=1$

delta:=
mat((0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(1,0,0,-1,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,
1,0,-1,0))$

shortformdelta:={1,0,ss,0,0,ss,0,0,ss,1,0}$

phase 1 de la resolution des equations$

on resout l'equation {{0,1},0} qui est  maintenant AA:= - d(0,3)$

Unknown: d(0,3)
Unknown: d(0,3)
bonne inconnue W:=d(0,3)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,1},1} qui est  maintenant AA:=d(2,1) - d(1,3)$

Unknowns: {d(2,1),d(1,3)}
Unknowns: {d(2,1),d(1,3)}
bonne inconnue W:=d(2,1)$

sa valeur doit etre WW:=d(1,3)$

on resout l'equation {{0,1},2} qui est  maintenant AA:= - d(2,3)$

Unknown: d(2,3)
Unknown: d(2,3)
bonne inconnue W:=d(2,3)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,1},3} qui est  maintenant AA:= - d(4,1) - d(3,3) + d(1,
1) + d(0,0)$

Unknowns: {d(4,1),d(3,3),d(1,1),d(0,0)}
Unknowns: {d(4,1),d(3,3),d(1,1),d(0,0)}
bonne inconnue W:=d(4,1)$

sa valeur doit etre WW:= - d(3,3) + d(1,1) + d(0,0)$

on resout l'equation {{0,1},4} qui est  maintenant AA:= - d(4,3)$

Unknown: d(4,3)
Unknown: d(4,3)
bonne inconnue W:=d(4,3)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,1},5} qui est  maintenant AA:= - (d(5,3) + d(2,0))$

Unknowns: {d(5,3),d(2,0)}
Unknowns: {d(5,3),d(2,0)}
bonne inconnue W:=d(5,3)$

sa valeur doit etre WW:= - d(2,0)$

on resout l'equation {{0,1},6} qui est  maintenant AA:= - d(6,3) - d(5,1) - d(4,
0) + d(3,1)$

Unknowns: {d(6,3),d(5,1),d(4,0),d(3,1)}
Unknowns: {d(6,3),d(5,1),d(4,0),d(3,1)}
bonne inconnue W:=d(6,3)$

sa valeur doit etre WW:= - d(5,1) - d(4,0) + d(3,1)$

on resout l'equation {{0,2},0} qui est  maintenant AA:= - d(0,1)$

Unknown: d(0,1)
Unknown: d(0,1)
bonne inconnue W:=d(0,1)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,2},1} qui est  maintenant AA:=d(2,2) - d(1,1) + d(0,0)$

Unknowns: {d(2,2),d(1,1),d(0,0)}
Unknowns: {d(2,2),d(1,1),d(0,0)}
bonne inconnue W:=d(2,2)$

sa valeur doit etre WW:=d(1,1) - d(0,0)$

on resout l'equation {{0,2},2} qui est  maintenant AA:= - d(1,3)$

Unknown: d(1,3)
Unknown: d(1,3)
bonne inconnue W:=d(1,3)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,2},3} qui est  maintenant AA:= - d(4,2) - d(3,1) + d(1,
2)$

Unknowns: {d(4,2),d(3,1),d(1,2)}
Unknowns: {d(4,2),d(3,1),d(1,2)}
bonne inconnue W:=d(4,2)$

sa valeur doit etre WW:= - d(3,1) + d(1,2)$

on resout l'equation {{0,2},4} qui est  maintenant AA:=d(3,3) - d(1,1) - d(0,0)$

Unknowns: {d(3,3),d(1,1),d(0,0)}
Unknowns: {d(3,3),d(1,1),d(0,0)}
bonne inconnue W:=d(3,3)$

sa valeur doit etre WW:=d(1,1) + d(0,0)$

on resout l'equation {{0,2},5} qui est  maintenant AA:= - d(5,1) + d(1,0)$

Unknowns: {d(5,1),d(1,0)}
Unknowns: {d(5,1),d(1,0)}
bonne inconnue W:=d(5,1)$

sa valeur doit etre WW:=d(1,0)$

on resout l'equation {{0,2},6} qui est  maintenant AA:= - d(6,1) - d(5,2) + d(3,
2) - d(3,0)$

Unknowns: {d(6,1),d(5,2),d(3,2),d(3,0)}
Unknowns: {d(6,1),d(5,2),d(3,2),d(3,0)}
bonne inconnue W:=d(6,1)$

sa valeur doit etre WW:= - d(5,2) + d(3,2) - d(3,0)$

on resout l'equation {{0,3},0} qui est  maintenant AA:= - d(0,6)$

Unknown: d(0,6)
Unknown: d(0,6)
bonne inconnue W:=d(0,6)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,3},1} qui est  maintenant AA:= - d(1,6)$

Unknown: d(1,6)
Unknown: d(1,6)
bonne inconnue W:=d(1,6)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,3},2} qui est  maintenant AA:= - d(2,6)$

Unknown: d(2,6)
Unknown: d(2,6)
bonne inconnue W:=d(2,6)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,3},3} qui est  maintenant AA:= - d(3,6)$

Unknown: d(3,6)
Unknown: d(3,6)
bonne inconnue W:=d(3,6)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,3},4} qui est  maintenant AA:= - d(4,6)$

Unknown: d(4,6)
Unknown: d(4,6)
bonne inconnue W:=d(4,6)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,3},5} qui est  maintenant AA:= - d(5,6)$

Unknown: d(5,6)
Unknown: d(5,6)
bonne inconnue W:=d(5,6)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,3},6} qui est  maintenant AA:= - d(6,6) + 2*d(2,0) + d(
1,1) + 2*d(0,0)$

Unknowns: {d(6,6),d(2,0),d(1,1),d(0,0)}
Unknowns: {d(6,6),d(2,0),d(1,1),d(0,0)}
bonne inconnue W:=d(6,6)$

sa valeur doit etre WW:=2*d(2,0) + d(1,1) + 2*d(0,0)$

on resout l'equation {{0,4},1} qui est  maintenant AA:=d(2,4)$

Unknown: d(2,4)
Unknown: d(2,4)
bonne inconnue W:=d(2,4)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,4},3} qui est  maintenant AA:= - d(4,4) + d(1,4) + d(1,
1)$

Unknowns: {d(4,4),d(1,4),d(1,1)}
Unknowns: {d(4,4),d(1,4),d(1,1)}
bonne inconnue W:=d(4,4)$

sa valeur doit etre WW:=d(1,4) + d(1,1)$

on resout l'equation {{0,4},5} qui est  maintenant AA:= - d(2,0)$

Unknown: d(2,0)
Unknown: d(2,0)
bonne inconnue W:=d(2,0)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,4},6} qui est  maintenant AA:= - d(5,4) - d(4,0) + d(3,
4) + d(3,1)$

Unknowns: {d(5,4),d(4,0),d(3,4),d(3,1)}
Unknowns: {d(5,4),d(4,0),d(3,4),d(3,1)}
bonne inconnue W:=d(5,4)$

sa valeur doit etre WW:= - d(4,0) + d(3,4) + d(3,1)$

on resout l'equation {{0,5},1} qui est  maintenant AA:=d(2,5)$

Unknown: d(2,5)
Unknown: d(2,5)
bonne inconnue W:=d(2,5)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{0,5},3} qui est  maintenant AA:= - d(4,5) + d(1,5)$

Unknowns: {d(4,5),d(1,5)}
Unknowns: {d(4,5),d(1,5)}
bonne inconnue W:=d(4,5)$

sa valeur doit etre WW:=d(1,5)$

on resout l'equation {{0,5},6} qui est  maintenant AA:= - d(5,5) + d(3,5) + d(1,
1) + d(0,0)$

Unknowns: {d(5,5),d(3,5),d(1,1),d(0,0)}
Unknowns: {d(5,5),d(3,5),d(1,1),d(0,0)}
bonne inconnue W:=d(5,5)$

sa valeur doit etre WW:=d(3,5) + d(1,1) + d(0,0)$

on resout l'equation {{1,2},0} qui est  maintenant AA:= - d(0,5)$

Unknown: d(0,5)
Unknown: d(0,5)
bonne inconnue W:=d(0,5)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{1,2},1} qui est  maintenant AA:= - d(1,5)$

Unknown: d(1,5)
Unknown: d(1,5)
bonne inconnue W:=d(1,5)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{1,2},3} qui est  maintenant AA:= - (d(3,5) + d(0,2))$

Unknowns: {d(3,5),d(0,2)}
Unknowns: {d(3,5),d(0,2)}
bonne inconnue W:=d(3,5)$

sa valeur doit etre WW:= - d(0,2)$

on resout l'equation {{1,2},5} qui est  maintenant AA:=d(1,1) + d(0,2) - 2*d(0,0
)$

Unknowns: {d(1,1),d(0,2),d(0,0)}
Unknowns: {d(1,1),d(0,2),d(0,0)}
bonne inconnue W:=d(1,1)$

sa valeur doit etre WW:= - d(0,2) + 2*d(0,0)$

on resout l'equation {{1,2},6} qui est  maintenant AA:= - d(6,5) - 2*d(3,1) + d(
1,2)$

Unknowns: {d(6,5),d(3,1),d(1,2)}
Unknowns: {d(6,5),d(3,1),d(1,2)}
bonne inconnue W:=d(6,5)$

sa valeur doit etre WW:= - 2*d(3,1) + d(1,2)$

on resout l'equation {{1,4},3} qui est  maintenant AA:= - d(0,4)$

Unknown: d(0,4)
Unknown: d(0,4)
bonne inconnue W:=d(0,4)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{1,4},6} qui est  maintenant AA:=d(1,4) - d(0,2)$

Unknowns: {d(1,4),d(0,2)}
Unknowns: {d(1,4),d(0,2)}
bonne inconnue W:=d(1,4)$

sa valeur doit etre WW:=d(0,2)$

on resout l'equation {{2,4},3} qui est  maintenant AA:= - d(0,2)$

Unknown: d(0,2)
Unknown: d(0,2)
bonne inconnue W:=d(0,2)$

sa valeur doit etre WW:=0$

on resout l'equation {{2,4},6} qui est  maintenant AA:=d(3,4) + d(1,2)$

Unknowns: {d(3,4),d(1,2)}
Unknowns: {d(3,4),d(1,2)}
bonne inconnue W:=d(3,4)$

sa valeur doit etre WW:= - d(1,2)$

Derivation equations to cancel (Reduce output) : \\{{{{0,1},0},0},
{{{0,1},1},0},
{{{0,1},2},0},
{{{0,1},3},0},
{{{0,1},4},0},
{{{0,1},5},0},
{{{0,1},6},0},
{{{0,2},0},0},
{{{0,2},1},0},
{{{0,2},2},0},
{{{0,2},3},0},
{{{0,2},4},0},
{{{0,2},5},0},
{{{0,2},6},0},
{{{0,3},0},0},
{{{0,3},1},0},
{{{0,3},2},0},
{{{0,3},3},0},
{{{0,3},4},0},
{{{0,3},5},0},
{{{0,3},6},0},
{{{0,4},0},0},
{{{0,4},1},0},
{{{0,4},2},0},
{{{0,4},3},0},
{{{0,4},4},0},
{{{0,4},5},0},
{{{0,4},6},0},
{{{0,5},0},0},
{{{0,5},1},0},
{{{0,5},2},0},
{{{0,5},3},0},
{{{0,5},4},0},
{{{0,5},5},0},
{{{0,5},6},0},
{{{0,6},1},0},
{{{0,6},3},0},
{{{0,6},6},0},
{{{1,2},0},0},
{{{1,2},1},0},
{{{1,2},2},0},
{{{1,2},3},0},
{{{1,2},4},0},
{{{1,2},5},0},
{{{1,2},6},0},
{{{1,3},3},0},
{{{1,3},5},0},
{{{1,3},6},0},
{{{1,4},0},0},
{{{1,4},1},0},
{{{1,4},2},0},
{{{1,4},3},0},
{{{1,4},4},0},
{{{1,4},5},0},
{{{1,4},6},0},
{{{1,5},3},0},
{{{1,5},5},0},
{{{1,5},6},0},
{{{1,6},3},0},
{{{1,6},5},0},
{{{1,6},6},0},
{{{2,3},0},0},
{{{2,3},1},0},
{{{2,3},2},0},
{{{2,3},3},0},
{{{2,3},4},0},
{{{2,3},5},0},
{{{2,3},6},0},
{{{2,4},1},0},
{{{2,4},3},0},
{{{2,4},5},0},
{{{2,4},6},0},
{{{2,5},1},0},
{{{2,5},5},0},
{{{2,5},6},0},
{{{2,6},1},0},
{{{2,6},5},0},
{{{2,6},6},0},
{{{3,4},3},0},
{{{3,4},6},0},
{{{3,5},6},0},
{{{3,6},6},0},
{{{4,5},3},0},
{{{4,5},6},0},
{{{4,6},3},0},
{{{4,6},6},0},
{{{5,6},6},0}}$

il n'y a pas de phase 2$

derivation generique de gtildedelta:$

MATD:=
mat((d(0,0),0,0,0,0,0,0),(d(1,0),2*d(0,0),d(1,2),0,0,0,0),(0,0,d(0,0),0,0,0,0),(
d(3,0),d(3,1),d(3,2),3*d(0,0), - d(1,2),0,0),(d(4,0),0, - (d(3,1) - d(1,2)),0,2*
d(0,0),0,0),(d(5,0),d(1,0),d(5,2),0,d(3,1) - d(1,2) - d(4,0),3*d(0,0),0),(d(6,0)
,d(3,2) - d(3,0) - d(5,2),d(6,2),d(3,1) - d(1,0) - d(4,0),d(6,4), - (2*d(3,1) - 
d(1,2)),4*d(0,0)))$

pour delta:=

[0  1  0  0   0   0]
[                  ]
[0  0  0  0   0   0]
[                  ]
[1  0  0  -1  0   0]
[                  ]
[0  0  0  0   0   0]
[                  ]
[0  0  0  0   0   0]
[                  ]
[0  0  1  0   -1  0]


pour shortformdelta:={1,0,ss,0,0,ss,0,0,ss,1,0}

Unknowns: {d(6,4),
d(6,2),
d(6,0),
d(5,2),
d(5,0),
d(4,0),
d(3,2),
d(3,1),
d(3,0),
d(1,2),
d(1,0),
d(0,0)}
Unknowns: {d(6,4),
d(6,2),
d(6,0),
d(5,2),
d(5,0),
d(4,0),
d(3,2),
d(3,1),
d(3,0),
d(1,2),
d(1,0),
d(0,0)}
listeparametresMATD{d(6,4),
d(6,2),
d(6,0),
d(5,2),
d(5,0),
d(4,0),
d(3,2),
d(3,1),
d(3,0),
d(1,2),
d(1,0),
d(0,0)}$

dim Der(gtildedelta):=12$

un element t1 d'un tore $

t1:=D(0,0):=

[1  0  0  0  0  0  0]
[                   ]
[0  2  0  0  0  0  0]
[                   ]
[0  0  1  0  0  0  0]
[                   ]
[0  0  0  3  0  0  0]
[                   ]
[0  0  0  0  2  0  0]
[                   ]
[0  0  0  0  0  3  0]
[                   ]
[0  0  0  0  0  0  4]


MATD:=

mat((d(0,0),0,0,0,0,0,0),

    (d(1,0),2*d(0,0),d(1,2),0,0,0,0),

    (0,0,d(0,0),0,0,0,0),

    (d(3,0),d(3,1),d(3,2),3*d(0,0), - d(1,2),0,0),

    (d(4,0),0, - (d(3,1) - d(1,2)),0,2*d(0,0),0,0),

    (d(5,0),d(1,0),d(5,2),0,d(3,1) - d(1,2) - d(4,0),3*d(0,0),0),

    (d(6,0),d(3,2) - d(3,0) - d(5,2),d(6,2),d(3,1) - d(1,0) - d(4,0),d(6,4),

      - (2*d(3,1) - d(1,2)),4*d(0,0)))


Unknown: d(0,0)

Unknown: d(0,0)

commutant de t1 dans der(gtildedelta):

[d(0,0)     0        0        0         0         0         0    ]
[                                                                ]
[  0     2*d(0,0)    0        0         0         0         0    ]
[                                                                ]
[  0        0      d(0,0)     0         0         0         0    ]
[                                                                ]
[  0        0        0     3*d(0,0)     0         0         0    ]
[                                                                ]
[  0        0        0        0      2*d(0,0)     0         0    ]
[                                                                ]
[  0        0        0        0         0      3*d(0,0)     0    ]
[                                                                ]
[  0        0        0        0         0         0      4*d(0,0)]


rank 1 with maximal torus t1

1


matrice de passage de la base X(0)=delta, X(1),..., X(6) a une base  diagonali\
sant le tore maximal: on peut prendre

P:=

[1  0  0  0  0  0  0]
[                   ]
[0  1  0  0  0  0  0]
[                   ]
[0  0  1  0  0  0  0]
[                   ]
[0  0  0  1  0  0  0]
[                   ]
[0  0  0  0  1  0  0]
[                   ]
[0  0  0  0  0  1  0]
[                   ]
[0  0  0  0  0  0  1]


P**(-1)*t1*P:=

[1  0  0  0  0  0  0]
[                   ]
[0  2  0  0  0  0  0]
[                   ]
[0  0  1  0  0  0  0]
[                   ]
[0  0  0  3  0  0  0]
[                   ]
[0  0  0  0  2  0  0]
[                   ]
[0  0  0  0  0  3  0]
[                   ]
[0  0  0  0  0  0  4]


matrice des derivations dans cette base diagonalisante Y(1),...,Y(7):

P**(-1)*MATD*P:=
mat((d(0,0),0,0,0,0,0,0),(d(1,0),2*d(0,0),d(1,2),0,0,0,0),(0,0,d(0,0),0,0,0,0),(
d(3,0),d(3,1),d(3,2),3*d(0,0), - d(1,2),0,0),(d(4,0),0, - (d(3,1) - d(1,2)),0,2*
d(0,0),0,0),(d(5,0),d(1,0),d(5,2),0,d(3,1) - d(1,2) - d(4,0),3*d(0,0),0),(d(6,0)
,d(3,2) - d(3,0) - d(5,2),d(6,2),d(3,1) - d(1,0) - d(4,0),d(6,4), - (2*d(3,1) - 
d(1,2)),4*d(0,0)))$

PP:=
mat((1,0,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1,0
,0),(0,0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,0,1))$

avec PP:=P*Q:=
mat((1,0,0,0,0,0,0),(0,1,0,0,0,0,0),(0,0,1,0,0,0,0),(0,0,0,1,0,0,0),(0,0,0,0,1,0
,0),(0,0,0,0,0,1,0),(0,0,0,0,0,0,1))$

MATDDIAGONALISE:=
mat((d(0,0),0,0,0,0,0,0),(d(1,0),2*d(0,0),d(1,2),0,0,0,0),(0,0,d(0,0),0,0,0,0),(
d(3,0),d(3,1),d(3,2),3*d(0,0), - d(1,2),0,0),(d(4,0),0, - (d(3,1) - d(1,2)),0,2*
d(0,0),0,0),(d(5,0),d(1,0),d(5,2),0,d(3,1) - d(1,2) - d(4,0),3*d(0,0),0),(d(6,0)
,d(3,2) - d(3,0) - d(5,2),d(6,2),d(3,1) - d(1,0) - d(4,0),d(6,4), - (2*d(3,1) - 
d(1,2)),4*d(0,0)))$

on voit apparaitre les poids sur la diagonale$

r(1) := d(0,0)$

r(2) := 2*d(0,0)$

r(3) := d(0,0)$

r(4) := 3*d(0,0)$

r(5) := 2*d(0,0)$

r(6) := 3*d(0,0)$

r(7) := 4*d(0,0)$

r(1) := gamma1$

r(2) := 2*gamma1$

r(3) := gamma1$

r(4) := 3*gamma1$

r(5) := 2*gamma1$

r(6) := 3*gamma1$

r(7) := 4*gamma1$

Le systeme de poids est le systeme 1.2*ii$

calcul de relations de commutation de la base diaY(j) diagonalisant le tore$

listcommutateursdesx := {{{0,1},x(3)},
{{0,2},x(1)},
{{0,3},x(6)},
{{0,4}, - x(3)},
{{0,5}, - x(6)},
{{0,6},0},
{{1,2},x(5)},
{{1,3},0},
{{1,4},x(6)},
{{1,5},0},
{{1,6},0},
{{2,3},x(6)},
{{2,4},0},
{{2,5},0},
{{2,6},0},
{{3,4},0},
{{3,5},0},
{{3,6},0},
{{4,5},0},
{{4,6},0},
{{5,6},0}}$

diaY(1):=x(0)$

diaY(2):=x(1)$

diaY(3):=x(2)$

diaY(4):=x(3)$

diaY(5):=x(4)$

diaY(6):=x(5)$

diaY(7):=x(6)$

liste des commutateurs des diaY(i) :$

listcommutateurdesdiaY:={{{1,2},diay(4)},
{{1,3},diay(2)},
{{1,4},diay(7)},
{{1,5}, - diay(4)},
{{1,6}, - diay(7)},
{{1,7},0},
{{2,3},diay(6)},
{{2,4},0},
{{2,5},diay(7)},
{{2,6},0},
{{2,7},0},
{{3,4},diay(7)},
{{3,5},0},
{{3,6},0},
{{3,7},0},
{{4,5},0},
{{4,6},0},
{{4,7},0},
{{5,6},0},
{{5,7},0},
{{6,7},0}}$

Now we make explicit the isomorphism with an algebra of the book:$

Namely g_{7,1.2*ii}$

i.e. we go from the basis diaY(i) to the new basis ZZ(i) defined by the matrix:$

on pose :$

avec comme matrice de changement de base :$

This isom computed by calculisom6_1case1IV4.red$

mat((1,0,0,0,0,0,0),(0,0,1,1,0,0,0),(0,1,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,1,0,0),(0,0,1,0,0,0
,0),(0,0,0,0,0,-1,0),(0,0,0,0,0,0,1))$

det(isom):= 1$

ZZ(1):=diay(1)$

ZZ(2):=diay(3)$

ZZ(3):=diay(5) + diay(2)$

ZZ(4):=diay(2)$

ZZ(5):=diay(4)$

ZZ(6):= - diay(6)$

ZZ(7):=diay(7)$

listcommutateursdesZZ:=$

{{1,2},zz(4)}$

{{1,3},0}$

{{1,4},zz(5)}$

{{1,5},zz(7)}$

{{1,6},zz(7)}$

{{1,7},0}$

{{2,3},zz(6)}$

{{2,4},zz(6)}$

{{2,5},zz(7)}$

{{2,6},0}$

{{2,7},0}$

{{3,4}, - zz(7)}$

{{3,5},0}$

{{3,6},0}$

{{3,7},0}$

{{4,5},0}$

{{4,6},0}$

{{4,7},0}$

{{5,6},0}$

{{5,7},0}$

{{6,7},0}$

On obtient donc les relations de commutations de $

g_{7,1.2*ii}$

Et cela pour a:=1, b:=1.$

shortformdelta:={1,0,ss,0,0,ss,0,0,ss,1,0}$

delta:=
mat((0,1,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(1,0,0,-1,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,0,0,0,0),(0,0,
1,0,-1,0))$